求解一道数学题！

在数学史上，圆周率π的精确度，始终引起人们极大的关注，并成为衡量一个国家数学发展水平的标志．纵观π的计算史，其计算方法大致可分为：几何法、解析法、实验法、电子计算机计算法．

一、几何法 在公元前240年左右，阿基米德在他的《圆的度量》一书中首先采用”穷竭法”求π的值．“穷竭法”即用圆的内接和外切正多边形周长逼近圆周长．他作出了正96边形，并由此得到π的值为

术”即用圆的内接正多边形的面积逼近圆的面积．他算到了正192边形

祖冲之在刘徽工作的基础上，求出圆内接正12288边形和正24576边形的面积，得到

3.1415926＜π＜埋顷3.1415927．

祖冲之的π值纪录，保持了将近一千年．直到公元1427年中亚数学家阿尔·卡西计算了圆内接和外切正3×228边形的周长后，得到π值的17位小数．公元1610年，德国人鲁道夫花费了毕生精力，计算了正262边形的周长后，得到π的35 位小数值．鲁道夫的工作，表明了几何法求π的方法己走到尽头．1630年格林贝格(Grien berger)用几何法计算π至 39位小数．这是几何法的最后尝试，也是几何法的最高纪录．

二、解析法 圆周率计算上的第一次突破，是以手求π的解析表达式开始的．著名法国数学家韦达(1540—1603)做出了开创性的工作．在《数学定律，应用于三角形》一书中，得到了

他计算出3.1415926535＜π＜3.1415926537．显然他的π精确度不是当时世界领先水平，但利用一个无穷级数去刻划π值却开创了一个崭新的方向．

1671年，英国圣安德鲁大学教学教授格雷戈里(1638—1675)提出了著名的级数：

但他并未注意到，当x=1时，这一级数为：

格雷戈里的工作具有普遍性，成为解析法求π值的基础．在后来的二百多年里，许多人利用这一公式稍作修改并进行大量计慧镇算．不断刷新π值的世界纪录，1706年，英国的梅钦(1680—1751)利用格氏级数及其

破π的百位大关．继此之后，利用反正切展开式计算π的公式相继出现，π的位数也直线上升．1948年1月，英国的弗格森(D．F．Fergnson)与美国的伦奇(J．W．Wrench)用解析法得到π的 808位准确值，创造了甲级数方法的最高纪录，结束了用级数方法计算π值的阶段．这也是手工计算π的最高纪录，此后再没有人用手算与他们较量了．

三、实验法 1777年法国自然科学家蒲丰(1707—1788)出版了《能辨是非的算术实验》一书，提出了著名的前液粗“蒲丰实验”：在画有一组距离为a的平行线的平面上，随意投下长度为l(l＜a)的针．若投

1901年意大利数学家拉兹瑞尼用蒲丰的方法，仅投针3408次就轻松地得到π=3.1415929．这与π的精确值相比，一直到小数点后第七位才出现不同．

尽管这一方法远不如解析法便捷，且π的精确度也大为逊色．但它揭示了分析方法与概率方法之间的联系，向人们暗示了数学本质的某种统一性，促使人们深入探讨π的种种性质．开辟了π研究的新方向．

四、电子计算机计算法

自从第一台电子计算机ENIAC在美国问世之后，立刻取代了繁杂的π值的人工计算，使π的精确度出现了突飞猛进的飞跃．1949年，美国人赖脱威逊利用ENIAC计算机花了70个小时把π算到2034位，一下子就突破了千位大关，1955年，一台快速计算机竟在33个小时内。把π算到10017位，首次突破万位，1996年东京大学的一组数学家曾花了36个小时，在计算机上算出了π的32.3亿位小数．但是将前纪录保待了4年之久的美国数学家丘德诺夫斯基兄弟采用了新方法又获得了超过40亿位数的π．现在人们利用电子计算机将π算到了小数点后42.9亿多．如果把这一串数字打印出来，每厘米打印六个数字，那么整个数字的长度接近7200千米．比从德国柏林到美国芝加哥的距离还长．

不过电子计算机只是工具，它仍需用解析法的公式，可算是解析法的延伸和发展．其实这时π的计算变成了算法的精巧构思和机器速度的较量．除了显示电子计算机威力和检验机器效果之外，π的位数已无任何现实价值．

从π的计算可以看出，计算方法的每一次创新，都带来π的位数的巨大突破，但每一种方法都有上限：几何法因人们测量误差而不可能超过百位；解析法又因计算量聚增而局限于千位之内；实验法的指导意义大于它的实用价值；电子计算机同样受机器速度的影响，而不可能无限制地算出π值．

圆周率的计算方法

古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。

1、 Machin公式

[这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
Machin.c 源程序
还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。

2、 Ramanujan公式

1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：
这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：

3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法

Gauss-Legendre公式：
这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。

4、Borwein四次迭代式：

这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位

祖冲之用割圆术求得3.1415926--3.1415927之间，现在用计算机计算到几十万到几十亿位

百度"圆周率"

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